복습용으로 정리하는 공간이니 편하게 봐주시길 바랍니다.
1) Intuitive Definition of a Limit
정의: $a$에 충분히 가까운 $x$를 잡으면 $L$에 얼마든지 가까운 $f(x)$의 값을 얻을 수 있다.
읽을 때: " $x$가 $a$에 접근할 때 $f(x)$의 극한은 $L$이다."
2) 극한의 계산 방법
A. 대수적인 방법: 함수의 식을 대수적으로 구함
B. 수치적인 방법: a에 가까운 x의 값에 대한 f(x)를 계산해서 구함.
C. 그래프적인 방법: 함수의 그래프를 이용해서 구함.
3) 수치적인 계산 방법 예제
위의 식에서 $x->1$은 $x$가 1로 가까이 간다는 뜻입니다. 근데 여기서 $x$가 1로 가는 💡경우의 수가 2가지💡로 나뉩니다. x가 1의 왼쪽에서 가까이 갈수도 있고 오른쪽에서 가까이 갈 수 있습니다. 그림으로 설명하면 아래와 같습니다.
그럼 $x$가 1로 갈 때 함수의 값은 얼마가 되느냐❓ 우리는 이 질문에 답을 해야 됩니다. 그리고 $f(x)$의 값은 💡왼쪽에서 오는 값과 오른쪽에서 오는 값이 동일💡해야 "값이 존재한다" 라고 말할 수 있습니다.
그럼 값을 한번 추정해 보겠습니다.
❗ $x$의 값을 1의 왼쪽에서 1로 접근시키며 $f(x)$의 값을 계산해 보면 왼쪽의 표에서 0.5라는 것을 알수 있습니다. 왜냐하면 점점 값이 0.5에 "가까워짐"을 알 수 있기 때문이죠. 그래서 우리는 💡이대로 가다보면 0.5가 되겠구나!💡라는 추론이 가능해집니다.
❗왼쪽에서의 값을 구했으니 오른쪽에서의 값도 똑같은 방법으로 구할 수 있습니다. 아래쪽의 표를 보니 역시 0.5라는 사실을 알 수 있습니다.
✔이로써 $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{ x^{2} -1}$ 의 값은 0.5라고 답을 내릴 수 있습니다.